1. Степенная функция, ее свойства и график;
2. Преобразования:
Параллельный перенос;
Симметрия относительно осей координат;
Симметрия относительно начала координат;
Симметрия относительно прямой y = x;
Растяжение и сжатие вдоль осей координат.
3. Показательная функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования;
4. Логарифмическая функция , ее свойства и график;
5. Тригонометрическая функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования (y = sin x; y = cos x; y = tg x);
Функция: y = x\n - ее свойства и график.
Степенная функция, ее свойства и график
y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = 1/x
и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y = x p
, где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x
и p
имеет смысл степень x p
. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.
- Показатель p = 2n - четное натуральное число.
y = x 2n , где n - натуральное число, обладает следующими свойствами:
- область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
- множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
- функция y = x 2n четная, так как x 2n = (-x) 2n
- функция является убывающей на промежутке x < 0 и возрастающей на промежутке x > 0.
График функции y = x 2n имеет такой же вид, как например график функции y = x 4 .
2. Показатель p = 2n - 1 - нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция y = x 2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R;
- множество значений - множество R;
- функция y = x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 = x 2n-1 ;
- функция является возрастающей на всей действительной оси.
График функции y = x 2n-1 y = x 3 .
3. Показатель p = -2n , где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y = x -2n = 1/x 2n обладает следующими свойствами:
- множество значений - положительные числа y>0;
- функция y = 1/x 2n четная, так как 1/(-x) 2n = 1/x 2n ;
- функция является возрастающей на промежутке x0.
График функции y = 1/x 2n имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 2 .
4. Показатель p = -(2n-1)
, где n
- натуральное число.
В этом случае степенная функция y = x -(2n-1)
обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R, кроме x = 0;
- множество значений - множество R, кроме y = 0;
- функция y = x -(2n-1) нечетная, так как (-x) -(2n-1) = -x -(2n-1) ;
- функция является убывающей на промежутках x < 0 и x > 0 .
График функции y = x -(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 3 .
10 класс
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Степенной называется функция, заданная формулой где , p – некоторое действительное число.
I . Показатель - чётное натуральное число. Тогда степенная функция где n
D ( y )= (−; +).
2) Область значений функции – множество неотрицательных чисел, если:
множество неположительных чисел, если:
3) ) . Значит, функция Oy .
4) Если, то функция убывает при
х
(- ; 0] и возрастает при
х
и убывает при
х
и выпуклость на промежутке [ 0 , + ∞) ;
Степенная функция определяется формулой y = x a . Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени. Разберем степенную функцию
y = x a , когда a – нечетное положительное число, например, a = 1 , 3 , 5 … Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x
(черный цвет графика),
y = x 3 (синий цвет графика),
y = x 5 (красный цвет графика),
y = x 7 (зеленый цвет графика). Когда a = 1 , получаем линейную функцию y = x . Определение 6
Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный
Разберем степенную функцию
y = x a , когда a – четное положительное число, например, a = 2 , 4 , 6 … Для наглядности укажем графики таких степенных функций:
y = x 2 (черный цвет графика),
y = x 4 (синий цвет графика),
y = x 8 (красный цвет графика). Когда a = 2 , получаем квадратичную функцию, график которой – квадратичная парабола. Определение 7
Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:
На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции
y = x a , когда a – нечетное отрицательное число:
y = x - 9 (черный цвет графика);
y = x - 5 (синий цвет графика);
y = x - 3 (красный цвет графика);
y = x - 1 (зеленый цвет графика). Когда a = - 1 , получаем обратную пропорциональность, график которой – гипербола. Определение 8
Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:
Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 1 , - 3 , - 5 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота; k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда а = - 1 , - 3 , - 5 , . . . . На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – четное отрицательное число:
y = x - 8 (черный цвет графика);
y = x - 4 (синий цвет графика);
y = x - 2 (красный цвет графика). Определение 9
Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:
Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 2 , - 4 , - 6 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота; k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . . С самого начала обратите внимание на следующий аспект: в случае, когда a – положительная дробь с нечетным знаменателем, некоторые авторы принимают за область определения этой степенной функции интервал - ∞ ; + ∞ , оговаривая при этом, что показатель a – несократимая дробь. На данный момент авторы многих учебных изданий по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции, где показатель – дробь с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придержемся именно такой позиции: возьмем за область определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество [ 0 ; + ∞) . Рекомендация для учащихся: выяснить взгляд преподавателя на этот момент во избежание разногласий. Итак, разберем степенную функцию
y = x a , когда показатель степени – рациональное или иррациональное число при условии, что 0 < a < 1 . Проиллюстрируем графиками степенные функции
y = x a , когда a = 11 12 (черный цвет графика); a = 5 7 (красный цвет графика); a = 1 3 (синий цвет графика); a = 2 5 (зеленый цвет графика). Иные значения показателя степени a (при условии 0 < a < 1) дадут аналогичный вид графика. Определение 10
Свойства степенной функции при 0 < a < 1:
Разберем степенную функцию
y = x a , когда показатель степени – нецелое рациональное или иррациональное число при условии, что a > 1 . Проиллюстрируем графиками степенную функцию
y = x a в заданных условиях на примере таких функций: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (черный, красный, синий, зеленый цвет графиков соответственно). Иные значения показателя степени а при условии a > 1 дадут похожий вид графика. Определение 11
Свойства степенной функции при a > 1:
Обращаем ваше внимание!Когда a – отрицательная дробь с нечетным знаменателем, в работах некоторых авторов встречается взгляд, что область определения в данном случае – интервал - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) с оговоркой, что показатель степени a – несократимая дробь. На данный момент авторы учебных материалов по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придерживаемся именно такого взгляда: возьмем за область определения степенных функций с дробными отрицательными показателями множество (0 ; + ∞) . Рекомендация для учащихся: уточните видение вашего преподавателя на этот момент во избежание разногласий. Продолжаем тему и разбираем степенную функцию
y = x a при условии: - 1 < a < 0 . Приведем чертеж графиков следующий функций: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (черный, красный, синий, зеленый цвет линий соответственно). Определение 12
Свойства степенной функции при - 1 < a < 0:
lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда - 1 < a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота; На чертеже ниже приведены графики степенных функций y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (черный, красный, синий, зеленый цвета кривых соответственно). Определение 13
Свойства степенной функции при a < - 1:
lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда a < - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота; Когда a = 0 и х ≠ 0 , получим функцию y = x 0 = 1 , определяющую прямую, из которой исключена точка (0 ; 1) (условились, что выражению 0 0 не будет придаваться никакого значения). Показательная функция имеет вид
y = a x , где а > 0 и а ≠ 1 , и график этой функции выглядит различно, исходя из значения основания a . Рассмотрим частные случаи. Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы (0 < a < 1) .
Наглядным примером послужат графики функций при a = 1 2 (синий цвет кривой) и a = 5 6 (красный цвет кривой). Подобный же вид будут иметь графики показательной функции при иных значениях основания при условии 0 < a < 1 . Определение 14
Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:
Теперь рассмотрим случай, когда основание показательной функции больше, чем единица (а > 1) . Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y = 3 2 x (синий цвет кривой) и y = e x (красный цвет графика). Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции. Определение 15
Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:
Логарифмическая функция имеет вид y = log a (x) , где a > 0 , a ≠ 1 . Такая функция определена только при положительных значениях аргумента: при x ∈ 0 ; + ∞ . График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а. Рассмотрим сначала ситуацию, когда 0 < a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой). Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика. Определение 16
Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:
Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а > 1 .
На чертеже ниже –графики логарифмических функций y = log 3 2 x и y = ln x (синий и красный цвета графиков соответственно). Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика. Определение 17
Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:
Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики. В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f (x + T) = f (x) (T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль. График данной функции называется синусоида. Определение 18
Свойства функции синус:
График данной функции называется косинусоида. Определение 19
Свойства функции косинус:
График данной функции называется
тангенсоида. Определение 20
Свойства функции тангенс:
График данной функции называется котангенсоида.
Определение 21
Свойства функции котангенс:
Поведение функции котангенс на границе области определения lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Таким образом, прямые x = π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты; Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.
Определение 22
Свойства функции арксинус:
Определение 23
Свойства функции арккосинус:
Определение 24
Свойства функции арктангенс:
Определение 25
Свойства функции арккотангенс:
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter Напомним свойства и графики степенных функций с целым отрицательным показателем. При четных n, : Пример функции: Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;1). Особенность функций данного вида - их четность, графики симметричны относительно оси ОУ. Рис. 1. График функции
При нечетных n, : Пример функции: Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;-1). Особенность функций данного вида - их нечетность, графики симметричны относительно начала координат. Рис. 2. График функции
Напомним основное определение. Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем называется число . Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем называется число . Для выполняется равенство: Например: ; - выражение не существует по определению степени с отрицательным рациональным показателем; существует, т. к. показатель степени целый, Перейдем к рассмотрению степенных функций с рациональным отрицательным показателем. Например: Для построения графика данной функции можно составить таблицу. Мы поступим иначе: сначала построим и изучим график знаменателя - он нам известен (рисунок 3). Рис. 3. График функции
График функции знаменателя проходит через фиксированную точку (1;1). При построении графика исходной функции данная точка остается, при корень также стремится к нулю, функция стремится к бесконечности. И, наоборот, при стремлении х к бесконечности функция стремится к нулю (рисунок 4). Рис. 4. График функции
Рассмотрим еще одну функцию из семейства изучаемых функций. Важно, что по определению Рассмотрим график функции, стоящей в знаменателе: , график данной функции нам известен, она возрастает на своей области определения и проходит через точку (1;1) (рисунок 5). Рис. 5. График функции
При построении графика исходной функции точка (1;1) остается, при корень также стремится к нулю, функция стремится к бесконечности. И, наоборот, при стремлении х к бесконечности функция стремится к нулю (рисунок 6). Рис. 6. График функции
Рассмотренные примеры помогают понять, каким образом проходит график и каковы свойства изучаемой функции - функции с отрицательным рациональным показателем. Графики функций данного семейства проходят через точку (1;1), функция убывает на всей области определения. Область определения функции: Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения. Функция непрерывна, принимает все положительные значения от нуля до плюс бесконечности. Функция выпукла вниз (рисунок 15.7) На кривой взяты точки А и В, через них проведен отрезок, вся кривая находится ниже отрезка, данное условие выполняется для произвольных двух точек на кривой, следовательно функция выпукла вниз. Рис. 7. Рис. 7. Выпуклость функции
Важно понять, что функции данного семейства ограничены снизу нулем, но наименьшего значения не имеют. Пример 1 - найти максимум и минимум функции на интервале }
Степенная функция
Определение 5