Как решаются логарифмические уравнения. Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах. Что такое логарифмическое уравнение

Настоящая статья содержит систематическое изложение методов решения логарифмических уравнений с одной переменной. Это поможет учителю, прежде всего в дидактическом смысле: подбор упражнений позволяет составить для учащихся индивидуальные задания с учетом их возможностей. Данные упражнения могут быть использованы для урока обобщения и для подготовки к ЕГЭ.
Краткие теоретические сведения и решения задач позволяют учащимся самостоятельно развивать умения и навыки решения логарифмических уравнений.

Решение логарифмических уравнений.

Логарифмические уравнения – уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма. При решении логарифмических уравнений часто используются теоретические сведения:

Обычно решение логарифмических уравнений начинается с определения ОДЗ. В логарифмических уравнениях рекомендуется все логарифмы преобразовать так, чтобы их основания были равны. Затем уравнения либо выражают через один какой – либо логарифм, который обозначается новой переменной, либо уравнение преобразовывают к виду, удобному для потенцирования.
Преобразования логарифмических выражений не должны приводить к сужению ОДЗ, если же примененный метод решения сужает ОДЗ, выпуская из рассмотрения отдельные числа, то эти числа в конце задачи необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение, т.к. при сужении ОДЗ возможна потеря корней.

1. Уравнения вида – выражение, содержащее неизвестное число, а число .

1) воспользоваться определением логарифма: ;
2) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
Если ) .

2. Уравнения первой степени относительно логарифма, при решении которых используются свойства логарифмов.

Для решения таких уравнений надо:

1) используя свойства логарифмов, преобразовать уравнение;
2) решить полученное уравнение;
3) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
).

3. Уравнение второй и выше степени относительно логарифма.

Для решения таких уравнений надо:

1. сделать замену переменной;
2. решить полученное уравнение;
3. сделать обратную замену;
4. решить полученное уравнение;
5. сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).

4. Уравнения, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.

Для решения таких уравнений надо:

1. прологарифмировать уравнение;
2. решить полученное уравнение;
3. сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им
   корни (решения).

5. Уравнения, которые не имеют решения.

1. Для решения таких уравнений надо найти ОДЗ уравнения.
2. Проанализировать левую и правую часть уравнения.
3. Сделать соответствующие выводы.

Исходное уравнение равносильно системе:

Доказать, что уравнение не имеет решения.

ОДЗ уравнения определяется неравенством х ≥ 0. На ОДЗ имеем

Сумма положительного числа и неотрицательного числа не равна нулю, поэтому исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

В ОДЗ попадает только один корень х = 0. Ответ: 0.

Произведем обратную замену.

Найденные корни принадлежат ОДЗ.

ОДЗ уравнения – множество всех положительных чисел.

Поскольку

Аналогично решаются данные уравнения:

Задачи для самостоятельного решения:

Используемая литература.

1. Бесчетнов В.М. Математика. Москва Демиург 1994
2. Бородуля И.Т. Показательная и логарифмическая функции. (задачи и упражнения). Москва «Просвещение» 1984
3. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Москва «Наука» 1987
4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. Москва «Илекса»2007
5. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В.. Задачи по алгебре и началам анализа. Москва «Просвещение» 2003

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a - это показатель степени, в которую надо возвести a , чтобы получить b .

При этом class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

1.Решите уравнение:

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Получаем:

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

Ответ: -124

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: class="tex" alt="4-x> 0."> Значит, class="tex" alt="x> -4.">

Представим 2 в правой части уравнения как - чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом class="tex" alt="x> -4">.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Class="tex" alt="\log _{8}\left (x^{2}+x \right)=\log _{8}\left (x^{2}-4 \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+x> 0\\ x^{2}-4> 0\\ x^{2}+x=x^{2}-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+x> 0\\ x^{2}-4> 0\\ x=-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-4">
Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

6.Решите уравнение: .

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Class="tex" alt="2^{\log _{4}\left (4x+5 \right)}=9\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2^\frac{{\log _{2}\left (4x+5 \right)}}{2}=9\\ 4x+5> 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left (2^{\log _{2}\left (4x+5 \right)} \right)^{\frac{1}{2}}=9\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left (4x+5 \right)^{\frac{1}{2}}=9\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{4x+5}=9\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x+5=81\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=19\\ x> -1\frac{1}{4} \end{matrix}\right.">

7.Решите уравнение: .

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:
class="tex" alt="\left\{\begin{matrix} 12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end{matrix}\right.">

Теперь можно «убрать» логарифмы.

Посторонний корень, поскольку должно выполняться условие class="tex" alt="x> 0">.

8. Решите уравнение .

ОДЗ уравнения: class="tex" alt="x> 0">

Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Вернемся к переменной х :

9.Решите уравнение:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

«Отбрасываем» логарифмы.

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену

Вернемся к переменной х . Получим:

Мы нашли все корни исходного уравнения.

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №5 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №13. И если в задании №5 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 13 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3 . Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично». В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.

Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств , которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.

Логарифмическая функция

Определение

Функцию вида

0,\, a\ne 1 \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">

называют логарифмической функцией .

Основные свойства

Основные свойства логарифмической функции y = log a x :

Графиком логарифмической функции является логарифмическая кривая :

Свойства логарифмов

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Если a и b a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство :

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Равенство log a t = log a s , где a > 0, a ≠ 1, t > 0, s > 0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s.

Если a , b , c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма ):

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Теорема 1. Если f (x ) > 0 и g (x ) > 0, то логарифмическое уравнение log a f (x ) = log a g (x ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x ) = g (x ).

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Пример 1. Решите уравнение:

Решение. В область допустимых значений входят только те x , при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

С учетом того, что

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

ql-right-eqno">

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Используем подстановку:

Уравнение принимает вид:

Обратная подстановка:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

ql-right-eqno">

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x ≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:

В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.

Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам . Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:

Теорема 2. Если f (x ) > 0 и g (x ) > 0, то:
при a > 1 логарифмическое неравенство log a f (x ) > log a g (x ) равносильно неравенству того же смысла: f (x ) > g (x );
при 0 < a < 1 логарифмическое неравенство log a f (x ) > log a g (x ) равносильно неравенству противоположного смысла: f (x ) < g (x ).

Пример 7. Решите неравенство:

Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:

Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:

После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:

Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение.

Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству.

Примеры:

\(\log_{2}{⁡x} = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡{(x^2-3)}=\log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_{x+1}{(x^2+3x-7)}=2\)
\(\lg^2⁡{(x+1)}+10=11 \lg⁡{(x+1)}\)

Как решать логарифмические уравнения:

При решении логарифмического уравнения нужно стремиться преобразовать его к виду \(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\), после чего сделать переход к \(f(x)=g(x)\).

\(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Пример: \(\log_2⁡(x-2)=3\)

Решение: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Проверка: \(10>2\) - подходит по ОДЗ Ответ: \(x=10\)

ОДЗ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Очень важно! Этот переход можно делать только если:

Вы написали для исходного уравнения, и в конце проверите, входят ли найденные в ОДЗ. Если это не сделать, могут появиться лишние корни, а значит – неверное решение.

Число (или выражение) в слева и справа одинаково;

Логарифмы слева и справа - «чистые», то есть не должно быть никаких , умножений, делений и т.д. – только одинокие логарифмы по обе стороны от знака равно.

Например:

Заметим, что уравнения 3 и 4 можно легко решить, применив нужные свойства логарифмов.

Пример . Решить уравнение \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\)

Решение :

		Напишем ОДЗ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ОДЗ: \(x>0\)		Слева перед логарифмом стоит коэффициент, справа сумма логарифмов. Это нам мешает. Перенесем двойку в показатель степени \(x\) по свойству: \(n \log_b{⁡a}=\log_b⁡{a^n}\). Сумму логарифмов представим в виде одного логарифма по свойству: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a{⁡bc}\)
\(\log_8⁡{x^2}=\log_8⁡25\)		Мы привели уравнение к виду \(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\) и записали ОДЗ, значит можно выполнить переход к виду \(f(x)=g(x)\).
		Получилось . Решаем его и получаем корни.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Проверяем подходят ли корни под ОДЗ. Для этого в \(x>0\) вместо \(x\) подставляем \(5\) и \(-5\). Эту операцию можно выполнить устно.
\(5>0\), \(-5>0\)		Первое неравенство верное, второе – нет. Значит \(5\) – корень уравнения, а вот \(-5\) – нет. Записываем ответ.

Ответ : \(5\)

Пример : Решить уравнение \(\log^2_2⁡{x}-3 \log_2{⁡x}+2=0\)

Решение :

		Напишем ОДЗ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡{x}-3 \log_2{⁡x}+2=0\) ОДЗ: \(x>0\)		Типичное уравнение, решаемое с помощью . Заменяем \(\log_2⁡x\) на \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Получили обычное . Ищем его корни.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Делаем обратную замену
\(\log_2{⁡x}=2\) \(\log_2{⁡x}=1\)		Преобразовываем правые части, представляя их как логарифмы: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) и \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2{⁡x}=\log_2⁡4\) \(\log_2{⁡x}=\log_2⁡2 \)		Теперь наши уравнения имеют вид \(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\), и мы можем выполнить переход к \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Проверяем соответствие корней ОДЗ. Для этого в неравенство \(x>0\) вместо \(x\) подставляем \(4\) и \(2\).
\(4>0\) \(2>0\)		Оба неравенства верны. Значит и \(4\) и \(2\) корни уравнения.

Ответ : \(4\); \(2\).

Подготовка к итоговому тестированию по математике включает в себя важный раздел - «Логарифмы». Задания из этой темы обязательно содержатся в ЕГЭ. Опыт прошлых лет показывает, что логарифмические уравнения вызвали затруднения у многих школьников. Поэтому понимать, как найти правильный ответ, и оперативно справляться с ними должны учащиеся с различным уровнем подготовки.

Сдайте аттестационное испытание успешно с помощью образовательного портала «Школково»!

При подготовке к единому государственному экзамену выпускникам старших классов требуется достоверный источник, предоставляющий максимально полную и точную информацию для успешного решения тестовых задач. Однако учебник не всегда оказывается под рукой, а поиск необходимых правил и формул в Интернете зачастую требует времени.

Образовательный портал «Школково» позволяет заниматься подготовкой к ЕГЭ в любом месте в любое время. На нашем сайте предлагается наиболее удобный подход к повторению и усвоению большого количества информации по логарифмам, а также по с одним и несколькими неизвестными. Начните с легких уравнений. Если вы справились с ними без труда, переходите к более сложным. Если у вас возникли проблемы с решением определенного неравенства, вы можете добавить его в «Избранное», чтобы вернуться к нему позже.

Найти необходимые формулы для выполнения задачи, повторить частные случаи и способы вычисления корня стандартного логарифмического уравнения вы можете, заглянув в раздел «Теоретическая справка». Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили все необходимые для успешной сдачи материалы в максимально простой и понятной форме.

Чтобы без затруднений справляться с заданиями любой сложности, на нашем портале вы можете ознакомиться с решением некоторых типовых логарифмических уравнений. Для этого перейдите в раздел «Каталоги». У нас представлено большое количество примеров, в том числе с уравнениями профильного уровня ЕГЭ по математике.

Воспользоваться нашим порталом могут учащиеся из школ по всей России. Для начала занятий просто зарегистрируйтесь в системе и приступайте к решению уравнений. Для закрепления результатов советуем возвращаться на сайт «Школково» ежедневно.

← Вернуться